Perspectiva Isometrica

Una proyección isométrica es un método gráfico de representación, más específicamente una axonométrica1 cilíndrica2 ortogonal.3 Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).

La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

Factor de reducción sobre los ejes

Ilustración de la proyección del eje "z" sobre el plano de representación.
Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α.

  • α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0).
  • el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud √3.

En consecuencia:

(1)
\begin{equation} cos(α)=√2/3=0.82 \end{equation}

Puede deducirse que α ≈ 35,26 °.
Es posible también utilizar el producto escalar:

  • el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);

la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k1, y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k2.

  • k1 es el producto escalar de y de , y se puede calcular mediante las coordenadas:

el teorema de Pitágoras nos indica que k1² + k2² = 1 (longitud de las aristas de un cubo)

En consecuencia:

(2)
\begin{equation} k2=√2/3= 0.82 \end{equation}
  • La longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un factor de 0.82.

Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.

  • Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plan (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k1 = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.
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