Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

En la siguiente figura ves dos rectas r y s cuyo origen es P y son secantes a la circunferencia en A y B, y A’ y B’ respectivamente.

conicas44.jpg

En geometría elemental estudiamos que el producto de las distancias conicas45.jpgy conicas46.jpgson iguales porque los ángulos en B y B’ por abarcar el mismo arco (en color rojo) y ser el ángulo P común en los triángulos conicas47.jpg y conicas48.jpgtal como lo vemos en la siguiente figura:

conicas49.jpg

Si el punto P es interior a la circunferencia:

conicas50.jpg

Los productos: conicas51.jpg y conicas52.jpg son iguales en valores absolutos, porque si el sentido conicas53.jpg consideramos positivo, conicas54.jpg será negativo y el producto también será negativo.

Si el punto es exterior a la circunferencia el resultado es positivo y si el punto es interior el resultado será negativo.

Puede darse el caso de que el punto corresponda a la circunferencia en este caso, el resultado será 0 como lo veremos más adelante.

La potencia del punto P se escribe, entre otras formas:

conicas55.jpg

Ecuación analítica de la potencia de un punto respecto de una circunferencia
En la figura siguiente ves una circunferencia situada en el primer cuadrante de un eje de coordenadas con centro en C(a,b).

conicas56.jpg

Laconicas57.jpg podemos escribirla en función de los valores de la distancia d del puntoconicas59.jpg al centroconicas58.jpg y del radio r de la circunferencia:

conicas60.jpg

En el triángulo rectángulo, con fondo morado, ves que d es la hipotenusa cuyos catetos corresponden a conicas61.jpgy respectivamente lo que nos permite escribir, siguiendo el teorema de Pitágoras:

conicas63.jpg

Este valor lo sustituimos en (I):

conicas64.jpg

Tomando la ecuación de la circunferencia, comprobamos que para calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en su ecuación.

Observación:

Cuando el punto que consideramos pertenece a la circunferencia, conicas65.jpg

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