Teorema De Herón

La fórmula de Herón nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados del mismo. Por lo tanto, no es necesario conocer ni la altura ni ninguno de los ángulos.

Si llamamos s al semiperímetro y a, b y c a los lados del triángulo,
siendo

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Demostración del Teorema

El teorema se demostrará con la ayuda del teorema del coseno

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La fórmula clásica para el área del triángulo nos dice que A=c*h/2; o lo que es lo mismo, A=c*a*sen(β)/2. Por otro lado, el teorema del coseno nos asegura que b2=a2+c2-2ac*cos(β).

El camino a seguir será despejar cos(β) de la última ecuación y sustituir sen(β) en la anterior.

Tenemos pues que cos(β)=(a2+c2-b2)/(2ac), y como sen2(β)=1-cos2(β) entonces:

68160320.png o lo que es lo mismo 21970755.png

Teniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador un cuadrado obtenemos:

sen(β) = raíz[(2ac-(a2+c2-b2))*(2ac+(a2+c2-b2))]/(2ac)=raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/(2ac)

Sustituyendo ahora en la fórmula del área, tenemos que A = raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/4 y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados como suma por diferencia, nos queda:
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Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si observamos que (b+a-c)/2 = (s-c)/2, y que (b-a+c)/2 = (s-a)/2 y así sucesivamente, llegamos a la fórmula final escrita anteriormente.

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